이제는 수학 채점도
AI가 하는 시대.

[그림1: 좌표평면 위에 초점이 $F'( -7, 0 )$, $F( 7, 0 )$ 이고 주축의 한 끝점이 $5$, $-5$ 인 쌍곡선과 점 $P, Q, R$ 이 표시된 그래프]

$\angle FPF' = \theta$

$\angle FPQ = \angle F'PQ = \frac{1}{2} \angle FPF' = \frac{\theta}{2}$

$\int_{0}^{\theta} x \cos x f'(\sin x) dx = \left[ x f(\sin x) \right]_{0}^{\theta} - \int_{0}^{\theta} f(\sin x) dx$
$= \theta f(\sin \theta) - \int_{0}^{\theta} f(\sin x) dx$

(준식) $= \theta f(\sin \theta) - \int_{0}^{\theta} f(\sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{2} - \theta}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$
$= \theta f(\sin \theta) - \int_{0}^{\theta} f(\sin x) dx + \int_{0}^{\theta} f(\sin x) dx$
$= \theta f(\sin \theta)$

$\int_{\frac{\pi}{2} - \theta}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$
$\leftarrow t = x - \frac{\pi}{2}$
$= \int_{-\theta}^{0} f\left(\cos\left(t + \frac{\pi}{2}\right)\right) dt$
$= \int_{-\theta}^{0} f( -\sin t ) dt$
$\leftarrow u = -t$
$= \int_{\theta}^{0} f(\sin u) (-du)$
$= \int_{0}^{\theta} f(\sin u) du$

$f(x) = \frac{5}{\theta} (5x - 2)^3$ 이므로

(준식) $= 5 (5 \sin \theta - 2)^3$

쌍곡선의 성질에 의해서 $\overline{PF'} - \overline{PF} = 10 = \overline{F'R}$
따라서 $\overline{PR} = \overline{PF}$ 이다.

$\triangle PQR$ 과 $\triangle PQF$ 는 $\overline{PQ}$ 공유, $\overline{PR} = \overline{PF}$, $\angle RPQ = \angle FPQ = \frac{\theta}{2}$ 로 SAS 합동이다.
$\therefore \triangle PQR \backsim \triangle PQF \Rightarrow \overline{RQ} = \overline{FQ}$ ... ①

지름 $\overline{F'R}$ 인 원이 점 $Q$ 를 지나므로 $\angle F'QR = 90^\circ$
따라서, $\overline{F'R}^2 = \overline{F'Q}^2 + \overline{QR}^2$ ... ②

①, ② 에서
$\overline{F'R}^2 = \overline{F'Q}^2 + \overline{RQ}^2 = \overline{F'Q}^2 + \overline{FQ}^2 = (14 - \overline{FQ})^2 + \overline{FQ}^2 = 2 \overline{FQ}^2 - 28 \overline{FQ} + 196 = 100$
$\therefore \overline{FQ}^2 - 14 \overline{FQ} + 48 = 0 \Rightarrow (\overline{FQ} - 6)(\overline{FQ} - 8) = 0 \Rightarrow \overline{FQ} = 6 \text{ or } \overline{FQ} = 8$